★分散分析

２つの集団の平均値に有意差があるかどうかはｔ検定等で調べることができますが、３つ以上の集団について２つずつ取り出してテストしていたのでは組み合わせが多く大変です。
３つ以上の母集団について平均値に有意差があるかどうかを調べる方法として、分散分析があります。

分散分析は最近の論文でよく見られます。分散分析の手法による表現の違いで、ANOVA（Analysis of Variance）やGLM（General Linear Model：一般線形モデル）、共分散解析（ANCOVA：Analysis of covariance)などがあります。

普通、集団が３つ（例えばA，B，C）の場合の分析には、AとB、BとC、そしてCとAのペアでそれぞれｔ検定を行ない、いずれかで帰無仮が棄却された場合３つのグループの平均は等しくない、と結論づけています。
しかしこのやり方にはグループ数が増加するとペアの数が増加する欠点があります。

標本の比較をする場合、t検定を何回も使用して2標本ずつ比較して求める事を行っても無意味です。
それは、何回も行う毎に誤りを採用する危険率が上がり終いには使えなくなってしまいます。
多標本の比較をする場合本当はこの分散分析を用いなければなりません。

分散分析では、厳密には３つ以上の水準の平均（水準とは、項目のことです）が互いに等しいという仮説を検定するもので、要因の間で少なくとも１つの平均が他と異なっているかどうかを調べることになります。

つまり，全体の中のどこかに差が存在していることを示すだけで，具体的にどれとどれが異なっているかを知るには，多重比較という分析を行なう必要があるのです。つまり、3つの間に違いがあるという結果が得られたとしてもどれとどれの間に違いがあるのかはわからないと言うことで、違いがあることがわかったら、こんどは多重比較によって、どれとどれの間に違いがあるかを調べる、という方法が広く用いられています。このとき、後半の多重比較のことを下位検定と呼ぶこともあります。

結果に影響を及ぼす様々な要因のうち、他の要因は変えずに１つの要因の違いだけに着目し、その平均値に有意差があるかどうか調べるものを「一元配置法」（１因子の分散分析）。

２つの要因の組合わせを考えるものを「二元配置法」（２因子の分散分析）といい、二元配置法には「繰り返しのない二元配置」と「繰り返しのある二元配置」があります。

分散分析が論文で好んで用いられるのは、スマートな事も大きいのですが、これまで学んできた統計の手法が実は分散分析の一部であったこともあります。

例えば、t検定は分散分析において標本の数が2つの時の別名ですし、（2標本t検定を両側検定として用いた時だけ一元配置分散分析と一致します）t検定では普通は平均値とt値しか計算しませんが、分散分析では平方和や寄与率なども計算でき、対応のない2標本の平均値を両側検定で比較したい時は分散分析を用いた方が便利なのです。

また、順序尺度における一元配置分散分析は、ウィルコクソンの順位和検定、クリスカル・ウォーリス(Kruskal-Wallis)のH検定に相当し、順序尺度における繰り返しのない二元配置分散分析では、フリードマン(Friedman)の検定に、繰り返しのある二元配置分散分析では、マンテル・ヘンツェル検定に相当します。さらに、χ^２値は理論度数と実現度数の食い違いの平方を合計した値であり、一元配置分散分析における要因Aの平方和SAに相当する値です。

名義尺度における繰り返しのない二元配置分散分析はコクラン(Cochran)Q検定に相当し、変数が2つの時はマクネマーの検定に相当します。

このようにいろいろな検定を行うのではなく、分散分析一発で済ますことが出来るので、（というよりも、次の理由が一番大きい）検定の適応条件を満たしていないとか、数が少ないとか、いろいろと難癖を付けられることもないので、論文ではよく用いられています。

分散分析には目的に応じて色々な手法があり、分かりやすく言うならばデータに対応がない場合に用いる「一元配置法(one-way layout)」と、対応がある場合に用いる「二元配置法(two-way layout)」が一般的です。

○分散分析の発想

初めに、分かりやすく２つのAとB という集団が合ったとします。

このズレは、
�@データの大平均からのズレ　＝　�A平均の差の影響によって生じたズレ　+　�B偶然の影響によって生じたズレ
が成り立ちます。

分散分析は、このようなズレの分解を全データについて行います。そして、データのズレ（データの値）を支配したのは、平均の差の影響力（�A）なのか、それとも偶然の影響力（�B)なのかを比較します。もし、�Aの影響力が大きければ、平均の差は文字どおり偶然以上である（有意差がある）ことになります。
このとき、ズレを表す統計量として分散（ズレの値を二乗したもの）を用います。なぜなら、ズレの値は正と負の両方があるからです。このように、ズレを分散に換算して分解しようとするので、「分散の分解」すなわち分散分析と呼ばれます。

構造モデルと呼ばれる式では、参考書などでは、以下のように表しています。

ここで、 ・Xijの分散、すなわち母集団全体の分散 (全分散) を、σ2Totalと表記する。 ・τj の分散 (τ1, τ2, τ3の分散) を、要因分散と呼びσ2Aと表記する。 ・εijの分散を、誤差分散と呼ぶ。σ2Errorと表記する。

そして、
もし両者に差がないならば、τ1 =τ2 =τ3 = 0 なので、σ²_A = 0 である。
もし両者に差があるならば、τ1、τ2、τ3がなんであれ、σ²_A≠ 0 である。
だから、τ1、τ2、τ3についての推定をおこなわなくても、要因分散σ²_Aが 0 かどうかを判断すれば用が足りるのです。

どのようなデータであれ、分散分析を用いたデータ分析は５つの段階からなっています。

1. データの構造についてよく考え、構造モデルを構築する。
2. 誤差の分布についての仮定が、データに当てはまるかどうか検討する。
3. 平方和を分解し、各項の平均平方を求める。
4. 検討したい要因について、F を求め、帰無仮説の棄却の有無を判断する。
5. それがなにを意味しているのか考えるために、下位検定に進んだりする。

そしてその過程は分散分析表として表すことが慣例となっています。

分析表内に書かれている用語・記号は統計の基礎用語です。意味は各自で調べてください。分散分析を本気で理解しようと思うならここは頑張ってください。この時いろいろな統計の根底の基礎が分かると思います。例えば、SSは平方和と呼ばれ偏差の平方 (二乗のこと) の合計で変動の大きさを示している。とかいろいろです。

ただし、エクセルの表現方法は一般的な統計用語とズレている事が多いのですが、分散分析も例外ではありません。
エクセルの分散分析表は名称をいちいち書き換える必要があるので、面倒です。実際に例題を通して見ていきましょう。

○一元配置法

データに対応がない場合の一元配置法です。
以下のデータは、対象者15人を無作為に3群に分け、保健指導を行ったときそれぞれの群にA：無介入、B、C群に指導介入をして収縮期血圧を測定した結果です。

このように個々のデータを変動させている要因を分析し、意味のある要因による変動分すなわち「情報」と、はっきりと意味のつかめない要因による変動分すなわち「誤差」とに分解して、データを要約しようとする統計手法が「分散分析」です。
そしてデータを変動させる意味のある要因が1つだけで、その要因の内容を異にする対応のない群が多数ある場合を「一元配置分散分析」といいます。

実際にエクセルで行ってみましょう。
「データ分析」を呼び出し分析ツールがでたら、「分散分析：一元配置」を選びます。
一連の操作を行うと以下の表が出力されます。これが「分散分析表(ANOVA table)」と呼ばれる表です。

エクセルの表現方法は一般的な統計用語とズレている事が多いと書きましたが、一般的（教科書的）な分散分析表は以下のようになるので文言を書き換えます。

「変動要因」⇒「要因」 「グループ間」⇒「介入」要因Aの平方和SAに当たります。 「グループ内」⇒「残差」個人差によるデータの変動、すなわち誤差のことを「残差(Residual)」と呼びます。 「変動」⇒「平方和SS」先に各種の変動は偏差の一種で、それらの平方を合計した平方和と書きましたが、この「平方和SS」が変動に当たります。 「自由度」⇒「自由度」これは同じです。 「分散」⇒「平均平方和」これも変動の原因となる変数の数すなわち自由度と、平方和を自由度で割った分散になりますので、「平均平方和」は「分散」を意味しています。 「観測された分散比」⇒「分散比Ｆ」分散比Fは要因Aの分散と残差分散の比で、要因Aによる変動が残差による変動の何倍あるか、言い換えれば要因Aの情報密度が誤差の情報密度の何倍濃いかを表す値です。 この分散比Fを利用して検定を行っています。

知りたいのは：保健指導を行わなかったＡと保健指導を行ったB、Cに指導効果に違いがあるか？
ということですが、これを統計的に言うと、
見たいのは：要因A(保健指導)はデータを変動させるか？
ですね。そして
要因A(保健指導)によるデータの変動は0である。を検定するわけです。これが帰無仮説に当たります。
この時分散比Fを利用して検定を行います。

データを情報と考えると、平方和は要因の情報量であり、自由度はその担い手の数、そして分散は情報密度と考えることができます。分散比Fは要因Aの分散と残差分散の比で、要因Aによる変動が残差による変動の何倍あるか、言い換えれば要因Aの情報密度が誤差の情報密度の何倍濃いかを表す値です。

このF値を検定統計量にする手法を「分散分析F検定」といいます。この手法では、データから求めた分散比をp値に変換して有意水準の値と比べるか、p値がちょうど有意水準の値になる時の基準のF値と比べるかして検定します。
この時のｐ値がエクセル表にある「Ｐ−値」です。

有意水準5％の時の基準のF値はだいたい3〜4ですので、Fが3〜4以上ならば「有意」、つまり要因Aの情報密度が誤差の情報密度の3〜4倍以上濃ければ、その情報を「意味が有るもの」と普段は直感的に考えることになります。

しかしこの検定で有意になっても、単に、「要因Aによる変動は0ではない」 と言っているにすぎません。
そこで総変動に対する要因Aによる変動の割合、
R_A²を考えます。このR_A²はこの先の重回帰分析の時に出てくるR²そのものです。

これは、全情報のうち要因Aによって説明のつく情報の割合を表し、パーセント表示されて「寄与率」と呼ばれることが多い値です。また寄与率の平方根を「η(イータ)」と書いて、「相関比(correlation ratio)」と呼ぶこともあります。

R_A²＝介入／残差　＝「グループ間」の「変動」値／「合計」の「変動」値

この値がある程度以上大きければ(論文的には20％以上ならば)、要因Aによる変動を本当に意味のあるものと考えるわけです。

ではエクセルが出力した表の解釈になります。

Ｐ値が0.000747 ・・有意水準5％で有意

R_A²=1480/2118=0.699(69.9%)

この結果より、
統計的結論：保健指導という介入要因によって収縮期血圧は変動する。

普通の言葉に翻訳すると、
統計的結論：非指導A、指導介入B、C群の平均収縮期血圧は同一ではなく、群によって異なっている。
ということになります。
しかしこれは単なる統計的結論ですので、解釈するときは医学的結論を考えなければなりません。それには3群の平均収縮期血圧と寄与率について考察することが必要です。つまりA群(非介入)の平均収縮期血圧130mmHgに対して、B群110mmHg、C群108mmHgという値がどれほど意味のあるものなのか、データの全変動に対する指導介入効果の差による変動の割合(寄与率)が約70％あるということがどれほど意味のあるものなのか、といったことを考察するわけです。これらが保健や医学的にみても意味のあることであれば、

医学的結論：指導結果A、B、Cの降圧効果は同一ではない。すなわち保健指導B、Cには降圧効果がある。という結論になります。
このように、分散分析よる結論は「要因Aによってデータが変動する」というだけの極めて素っ気ないものです。

「それじゃあ、具体的にどの群とどの群との間に差があり、どの群が一番なんだ？」と尋ねたくなるでしょう。そのような場合に「多重比較法(multiple comparison)」という手法が活きてくるのです。

分散分析は多群の平均値の差の合計が0かどうかを検定し、それによって要因Aがデータを変動させるかどうかを結論するのに対して、多重比較は2群ごとの平均値の差が0かどうかを個別に検定し、それを総合してファミリーとしての最終的な結論を採用します。このため個々の平均値の差は小さいながら、それを合計すればある程度大きくなるような場合は、分散分析では有意になるものの、多重比較では平均値の差が誤差に隠されてしまい、どの群間比較も有意にならないということが起きます。

またF値についての説明からもわかりますように、一元配置分散分析と多重比較において群の数(水準数)が2つの場合は2標本t検定に相当し、F値の平方根がt値に一致します。
ただし2標本t検定が、本来は一方の群の平均値が他方よりも大きいか、または小さいかだけを検定する手法であるのに対して、一元配置分散分析は平均値が異なっているかどうかを検定する手法です。このため2標本t検定を両側検定として用いた時だけ、一元配置分散分析と一致します。

蛇足になりますが、論文等で登場する各学会ご用達のSPSSでのやり方を見てみましょう。（データは別物です）
「変換(T)」→「連続数への再割り当て(A)」後「新しい変数名」を決めたところで、一元配置分散分析を選んだところからです。

オプションにある「等分散性の検定」と「Welch」にチェックを入れます 「等分散性の検定」は、各水準の散らばりが等しいかどうかを調べるルビーン検定（レーベン検定）が実行されます。 「Welch」は、等分散を仮定しない平均値の差の検定で、ルビーン検定の結果等分散性を仮定できない場合は、一元配置分散分析ではなく、ウェルチ検定を用いなさいとの指示となります。 分散分析は、ｔ検定と同じように等分散性を仮定する統計手法で、等分散ではない場合は、分散分析ではなくウェルチ検定のほうがより適切な手法なのです。 「続行」を押すと、「その後の多重検定」を指定するパレットになります。

普通は、Tukey、Games-Howellを選択します。 Tukeyは、正規性と等分散性を仮定する多重比較法で、もっともよく利用される方法です。Games-Howellは、正規性を仮定しますが等分散性を仮定しない多重比較法です。 最初に出力されるのは、ルビーン検定表です。

このルビーン検定の帰無仮説は「水準間の分散は等しい(等分散である)」です。上記例では、有意確率P=0.990であり、帰無仮説は棄却されません。すなわち、水準間の分散は等しく等分散性を仮定できると解釈されます。 この結果によって、等分散性を仮定できる場合は分散分析の結果を、等分散性を仮定できない場合はウェルチ検定結果を採用します。

次に多重比較検定の結果をみます。上記の等分散性検定で等分散していればTuky HSD、等分散していなければGames-Howellの「有意確率」をみてそれぞれの水準間でp < 0.05を満たしているかを確認します

どこかで、専用統計ソフトは職人の道具であると書きましたが、最高の道具であるSPSS等は統計の力量がないと使いこなせないということがお分かりかと思います。そして、SPSSが裏でどのようなことを行っているのか、使用者にいろいろとチェックボックスや警告・指示等で要求していることに答えるには、いろいろな検定手法をエクセルで手作業で行い経験を積むのが一番の早道です。

二元配置法は次項になります。