★統計の基本的概念
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はじめに
だいぶ昔のことですが、学会の帰りに琵琶湖の近くで行われた某大学主催の保健統計の講習会に参加したことがあります。
頂いたパワーポイントの資料を見て、思わず笑ってしまいました。私が2000年頃はじめた統計の研修と瓜二つ、コピーされたかと思うくらいそっくりでした。講習会の内容も皆さん論文をたくさん出しましょう的な内容でしたので、必要な知識や手法が同じなので瓜二つの内容になるのは当然かもしれませんが、笑ってしまったのは、自分の経験から受講者の殆どは理解できないだろうな、講師はノウハウ的なことを教えたので満足しているしているのだろうな。と研究者と現場での意識の違いを感じながらそして自分の過去を振り返りながら受講していました。
これまで、統計の研修やコンサルティングを通して、皆さん統計を勉強するときどこでつまづき、何が不足しているのか１人１人と話し合いながらいろいろと改善させながら今に至るのですが、皆さん専門化が思っているのとは全く別のところで思い悩んでいる事が多いのです。そしてこれらは当然分かっているだろうと研修などでカットされる部分でもあります。統計の参考書類も同じです。（こちらは字数制限のためもっと醜い）統計的な基本知識や初期数学的な部分もそうですが、もっと奥深いところにある場合もあり、個人個人まるで違います。この部分を突破すると突然言っていることや書いてあることが当然のように感じ理解が進みます。
参考書やこのコンテンツでも良いのですが、書かれている内容で引っかかっている部分を追求してみてください。そこに統計が苦手を克服する術があります。そこを突破するとこのコンテンツもなんら難しく感じることもないと思います。
◎統計検定を行うときの基本的な考え方
統計的検定では、結果の有意差を計算しそれの有無によって判断しています。
この有意差とは、結果が起こる確率を意味しており、実際に得られた結果が何もしなかった時の確率と比較して起こりえそうもない確率（定義では５％以下）が出た場合、何かあった（つまり介入的な効果があった）と判断しています。
検定とはこれだけのことなのです。どんな複雑な統計手法もこのことを示すために行われているだけです。
世の中にはいろいろな検定手法が存在します。なぜこのような回りくどいことをしているのかというと、「何もしなかった時の確率」これが問題なのです。
今皆さんが、健診データの検査値・・体重としましょう・が自分たちの指導によって改善したと言いたいときにどうするでしょう。
最初の体重のデータと、指導後のデータを比べて有意差判定をする。この言い方はこれで正解なのですが、最初の体重のデータと、指導後のデータを比べて分かるのは前後の差の大きさだけです。
この差の大きさによって、効果云々を言うためにどういう事をしなければならないのか考えてみましょう。
大きな差があった場合、効果ありと言いたいけれどそれを証明するには？
あるいは、どれくらいの差があれば、効果ありといえるのか？
実際に保健指導の効果を判定するとしましょう。効果があることを直接示したいとしましょう。
ところが、保健指導の効果はいろいろな要素によって変わってきます。
自ら行った指導の効果がある事を直接言うためには、全ての要素について吟味する必要があります。この中に漏れは許されません。ところが、全ての要素を洗い出すと言うことは不可能に近いですね。
あるいは、いくつかの要素を考慮して作られた効果判定の方法があるとします。その通りに実施することは、つまり与えられた要素以外を全て排除して実施するということですから、判定効果の実証ならいざ知らず、自ら実施した有効性を判断する事には向いていない事になります。
実は、前後の差の大きさによって効果判定を行う方法はありません。
それは最初に取ったデータの素性がハッキリしないからです。指導を期待している人達を集めた場合と最初から受け入れる気がない人達を集めた場合では、明らかにデータが違ってきますね。
前後の差の大きさによって効果判定を行う場合、前のデータつまり基準となるデータは常に普遍的なものでないと比較ができません。ここを都合良く動かされると、結果はどうにでもできてしまいます。
つまり、保健指導の効果を直接判断しようとすると、全ての要素を吟味する必要が出てくるため現実には不可能となります。
しかし、是が非でも効果を判定したい。そうなると別の発想が必要になります。
もし、「何もしない場合こういう事になる」と予め分かっていることがあれば、実際に何か介入（指導）を行ったときには何もしなかった場合と「違う結果」が得られることになりますね。
「何もしない場合こういう結果になる」と「何かしたらこういう結果になった」この両者を比較して大きな差違が見られれば、「何かした」介入の影響を受けていると考えるのが自然です。
「何かした場合」つまり「介入」をおこなった結果大きく影響を受けたと解釈できます。このとき、「大きな差違」の定義をハッキリさせておくとそれにしたがって判定することができるようになります。
この大きな差違をいつでもどの様な場合でも使えるようにするには、データ値の大きさで示すよりも、発生する確率で示すことにより、普遍性を持たせることができるようになります。この時の発生する確率が「何もしなかった時の確率」なのです。そして、この時の確率判定の基準（「大きな差違」の定義）を有意水準と呼びこの基準に従って判断を下す。
これが統計的検定のやり方なのです。
ちなみにこの有意水準を５％以下としています。この５％以下で起こる確率の場合大きな差違が生じていると判断し何らかの効果があったと結論づけています。この５％は、数学的な裏付けはなく、歴史的にエイヤーで決められたものですが、現実的というか日常的には理解できる数値です。
数学的には偶然で５％以下が出てくる場合もあるので、いろいろと難癖つけてくる方もいますが、次のようなゲームを考えてみると日常的に理解しやすいでしょう。
袋の中に赤玉と白玉が入っています。（数はどうでも良いのですが、同数です）袋から取り出したとき赤玉なら千円お渡しします。白玉なら逆に千円払って頂きます。こんなゲームです。
最初に出たのが白玉です。→千円払ます。この時白玉の出る確率は50%。
次も白玉です。→悔しいですね。連続２回白玉の出る確率は25%です。
次も白玉です。→イカサマか？ 連続３回白玉の出る確率は12.5%です。
次もまた白玉です。→イカサマだ！ 連続４回白玉の出る確率は6.25%です。
まだ続けますか？大概の人はここでイカサマを行っていると思うでしょう。
そして次もまたまた白玉です。 連続５回白玉の出る確率は3.12%です。
さすがに５連続負けが続くと数学的には偶然で３％以下が出てくる場合もあると言うよりも現実的にはイカサマを疑いますね。
では、このイカサマを介入効果と置き換えてみましょう。つまり、数学的には起こりうる事かもしれないが、現実的には介入効果があったとするのが心情的にピッタリします。ですから５％以下を有意水準とするのは現実的にも妥当な事なのです。
では、「何もしない場合こういう事になる」と予め分かっていることとはどういうものでしょうか。
皆さんは正規分布という言葉を聴いたことがあると思います。数学的には正規分布は例数、平均値、標準偏差によって分布の形が完全に決定するため、これら3つの値によって全部の情報を要約することができます。
正規分布は自然現象や社会現象を観察するときによく出てくるといわれますが、しかし、実際に集められたデータが正規分布することはあまりありません。
数が少ないと思われるでしょうが、例えば全世界人口の体重をみても左肩上がりの分布になります。
それでも統計の世界では、いつでもこの正規分布が幅を利かせています。
それはなぜでしょう？
皆さんが何かデータを処理しようとするとき、そのデータを一言で言えるような代表値として平均値を用いますよね。これが大きな理由でそれは統計学の基本定理である中心極限定理に基づいています。
中心極限定理とは、以下のようなものです。
X が平均μ、標準偏差σのある分布に従うならば、大きさ n の無作為標本に基づく標本平均は、n が無限に大きくなるとき、平均μ、標準偏差σの正規分布に近づく。
この定理は，母集団の分布がどのような分布であっても、その中から無作為に取りだした標本平均は、正規分布に従うことを言っています。それは、母集団がどのような崩れた分布を持っていても，そこから取り出した標本の（算術）平均は正規分布にしたがう。そして、正規分布はその値の確率密度関数が計算できる。という特徴を持っています。
いかにも教科書的な書き方ですね。もっと分かりやすく言うと、どのような崩れた分布からでも良いですから、そこから取り出したサンプルの値を全体の平均値からの差を取ります。（その差のことを偏差と言います。そしてその偏差を２乗したものを集め平均を出したものを分散と言います）そのサンプルの差の値をいくつもプロットしていくと必ず正規分布の形になる。
といっているのです。
つまり、なんら操作や介入がなければ、集団の平均値からの差をとればその値は必ず正規分布の線上にある。ということです。
正規分布はその値の確率密度関数が計算できる。といっているのは、その正規分布の線上にある値が出る確率が計算できると言っているのです。例えば、今サンプルを抽出して得た値が１５だったとします。そうすると、正規分布の線上その１５が出てくる確率は○％である。と計算できる。と言っているのです。
無限回数に抽出した時値が一番多く出るのはその差が０の平均値です。その次に多く出るのは平均値から少し離れた左右の値です。一番多くでる差が０を
100％の確立と定義すると、各値における確立が計算できます。そこで５％以上を「何も起こらなかったときの確立」と定義することにより判断を下すことを行っているのです。
先に書いた正規分布は例数、平均値、標準偏差によって分布の形が完全に決定するということを合わせると、即ち、平均値と分散値だけで、その出現確率を算定することができるという事になるわけです。この性質を利用して「何も起こらなかったときの確立」と比較することで、有意水準を超えたか越えてないかでもって評価判定を行っているのです。
この時、元になる分布が正規分布なので、それによる検定を正規分布検定、通常ｚ検定と言います。
この中心極限定理によって正規分布にしたがう性質を持つ代表値は、平均値だけではなく、中央値、分散値、期待値等があります。
これらの代表値の差をとったものは必ず正規分布になります。
ところがこの正規分布、数学的に無限の集団とかランダムサンプリングとかの前提で出来上がっている関数です。現実的ではないのです。現実の限られた母数や数少ないサンプリング回数で行っていると誤差が大きいのです。
そこで数学者や統計学者達が現実に合うような分布を捜し求めた結果、ｔ分布、Ｆ分布、χ２分布 、二項分布などが見つかっています。 これら分布を利用した検定をそれぞれ、分布の頭文字をとって、ｔ検定とか、χ２検定とか呼ぶわけです。
これらは全て正規分布を現実値に合うように調整した近似値分布で、 母数やサンプリング回数が大きくなると正規分布に近づいていき、
データ数が多くなるとこれらの分布曲線は、正規分布と区別ができなくなります。
大切な点は、それぞれの分布がどのような条件下で作られ、どのような代表値を用いたのかを知り、適応させることです。
詳しくはそれぞれの分布の成り立ちを勉強すれば分かると思いますが、とりあえずどの様な場合どの分布を当てはめればよいは
・平均値の差などを見る場合は、正規分布またはｔ分布。
・比率や割合を扱う場合はχ２分布または２項分布。
・相関性や分布のバラツキを見る場合はＦ分布。
と憶えておけば大体間に合います。
以上のようにデータが特定の分布をしていることを前提とし、データの分布状態によって値が変化する要約値に関する統計手法をパラメトリック手法といいます。 それに対してデータが特定の分布（例えば正規分布等）をしていることを前提にせず、データがどんな分布をしていても値があまり変化しない要約値に関する統計手法をノンパラメトリック手法といいます。
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