★ノンパラメトリック検定（続き）
◎ 二項検定

対応ありで、 χ^２検定における条件を満たさない場合つまり、同じ対応のある同士で、１つの結果だけを見る、つまり体重変化だけの効果をχ^２検定を用いて判定するときにχ^２検定の制限にかかった場合通常は二項検定またはＦ検定を用います。

母比率が p である母集団から n 個の標本を抽出したときに，対象とする特性を持つ標本の数 x は
二項分布 Pr{x}=nCx p^x *(1-p)^(n-x) に従う。
この二項分布に基づく検定を二項検定と呼びます。

なにやら難しそうな式ですね。ただ、この二項検定は本当に便利なのですが、実装しているソフトが少ない。３大ソフトでも表上は見当たりません。通常はχ^２検定を行ったとき、同時に計算されて結果表に表示されているのをよく見かけます。

エクセルの分析ツールでもｔ検定を行ったとき結果表にいろいろな項目が出ていたと思います。自分（分析者）自身にとって必要のない項目でも他の方や目的によっては必要となる項目ですが、それぞれのことを考えてできるだけ多くの結果を表示するのが一般的な統計ソフトです。
こられの表示内容で今の解析に必要なものはどれか選ぶのは分析者に委ねられているのです。３大ソフトはもちろん、フリーソフトでさえ使用する人は統計の熟練者という前提で作られています。統計ソフトは職人の道具と同じなのです。
ところがフリーソフトではこれが災いして制限をきつくしているのもあります。制限してくれるのはある意味でよいことなのですが、最近有名になったソフトで４stepsエクセル解析というものがあります。（同名の書籍に付属しているソフトです）論文などでちょこちょこ使われたりしている良いソフトなのですが、検定結果にいろいろな結果を表示するのは同じなのですが、制限がゆるいため、χ^２検定においてこの後述べるフィッシャーの正確検定をしたときにオーバーフローを起こして全ての検定がストップしフリーズします。少数人なら大丈夫なのですが、保健関連では健診データ結果をχ^２検定することがとても多いのですが、数百人入れると確実にフリーズします。これさえなければ本当によいソフトなんです。
初心者にとって、どの結果をチョイスするかは難しいもので、検定計算機のように必要なものだけ表示するほうが分かりやすいと思います。
多くの結果を表示するのはありがた迷惑かもしれません。

実装しているソフトが少ないなか、エクセルは関数として用意されています。ところが、これの使いでが非常に悪い。特にヘルプが全く役に立たない。二項検定が便利であり難いかはこのような例題でも分かります。

例題１：保健指導に参加した５０人中減量に成功したのは３０人であった。
指導は効果あったのか検討し臨床的・保健的解釈を行いなさい。

回答：Ｐ値　0.202638751　と有意差は見られず指導の効果があったとは言えない。

参加者のデータも何もないです。分かっているのは参加者と成功者の人数だけです。これだけの情報で検定できるのです。
しかも母比率を指定できるので、次のような問題にも対応できます。

例題２： 減量に成功しているのは例年３０％ほどであった。今年はプログラムの変えたので、３５％になった。
今年のプログラムは効果があったのか検討しなさい。

回答：Ｐ値＝ 0.000538866　非常に効果があった

これはとても便利で、コンサル時でもプログラムを作り変えるとき、例年の実績○○％に対して、◎◎％になれば５％有意差が出るので、これを達成できるように作り変えてください。と指示を出すと本当に現実的な良いものを作ってきます。

エクセルでは二項検定は、 BINOMDIST関数で与えられますが、 マイクロソフト流のよくわからない解説に惑わされますが、使い方のコツさえ分かれば簡単です。

BINOMDIST（成功数、試行回数、成功率、関数形式）
となっていますが、以下の意味です。

例題１を引き合いに出します。
成功数→体重変化した人数30人→30−1=29（１を引く）
試行回数→参加者数→50
成功率→母比率→0.5
関数形式→累積確率→trueまたは１
出てくる結果は片側検定の結果なので、２倍し両側検定にします。

を代入すれば、

Ｐ＝２＊BINOMDIST（29,50,0.5,true) = 1.797361249

となりますがこれでは間違っています。（そもそもＰ値が１を越えることはない）

二項検定における定義を当てはめると、

効果なし20名、効果あり30名ですから、少ない方の20名を採用して、 参加者全体n=50人から無作為にx=20人を抽出したとき体重変化が起こらない20人が選ばれる確率は２項分布に従う。と言うことですから求める確率は全体の起こる確率からここで計算したＰ値を引くことで得られます。そのために体重変化した人数を多い人数を採用し、関数形式を累積確率と指定しているのです。

P=2*(1-BINOM.DIST(52,91,0.5,TRUE)) =0.202638751

となります。このＰ値は 0.05 より大きいので、「体重減少に差がない」は棄却されず例題は体重減少の効果が見られないと判断されます。

このように癖の強い関数ですが、使い慣れると便利なのですが、 エクセルの二項検定は時々バグを起こし間違った答えを出してくるとの指摘がいくつか見られます。
実はこの２項検定はＦ分布を利用した母比率のＦ検定と等価であることが知られています。 これから求めたＰ値は２項検定で求めた値と同じになります。
検定計算機では、 二項検定とＦ検定を同時に行い、同じ答えなら問題ありませんが、違っていたらＦ検定の結果を採用するといった二段構えの方法をとっています。

ところで、対応のある２群の比率の差による検定は、分割表上それぞれの比率 (a+b)/nと(c+d)/nの差 (c-d)/nを検定する事ですが、帰無仮説を考えると、互いの比率には差がないとなります。

するとこれは、ケース数 = b + c，母比率 = 0.5 (つまり 1/2 ) の場合の２項検定（母比率の検定）と同じであることが分かります。この時b + c が大きい場合には，χ^２分布で近似でき、この検定法が実はマクネマーの検定なのです。

このマクネマーの検定は、b + cが１０以下の場合は使えないのに対して２項検定は数の大きさによらずいつでも適応できます。

これからも分かるように、二項検定は、式の仮説上両者の割合に差がないという事を立てますが、これは、効果ありとなしが半々、５０％対５０％になる意味ですので、全く効果が無い場合でも半数が成功するので、保健指導の成果を問うには無理があります。
（半分でも成功すると嬉しい！と思う方には良いかと思いますが。）

実際に実用的な使い方は、昨年の成功者が３５％だった。今年の成功者は４０％になった（お互いに対象総数は異なってもよい）
この場合今年の４０％は昨年度に比べて有意差があるのか。これを検討するのに向いています。
この場合、成功率つまり母比率を0.5から0.35に変更すれば良い。

二項検定は、２つの事象に対してしか使えません。これを過去数年は何％だった。今回は何％で、例年に対して有意差があるのか（つまり例年より新しい指導方法を導入した。この指導方法が過去に対して有意差があるのか）を調べる場合本来はχ^２検定の応用となりますが例題２のように簡易にだすこともできます。