★ノンパラメトリック検定（続き）

◎ポアソン検定

ポアソン分布は何百万何千万といった大規模データにおいてまれに発生する割合が示す分布です。
発生する確率が低く、かつそれが偶然に発生する事象が対象になります。このことから、「少数の法則」とも呼ばれます。

健診値のパニックデータや特異値などはポアソン分布することが知られています。
また、尿糖値などのように異常者数が少ないデータもポアソン分布します。

ポアソン分布は二項分布から導けるものですが、二項分布とχ^２分布との関連を考えると、χ^２分布では比率が１０％以下になってくると誤差が大きくなり使えないのですが、１０〜１５％の間ではグレーゾーンでこの時計算されたＰ値の有意差がない場合、ポアソン検定を行いここで有意差があればポアソン検定結果を採用することがあります。
統計ソフトなどではポアソン検定を扱っていないものも多いのですが、エクセルでは計算できます。

エクセルでポアソン検定を行うには、

１−POISSON(発生数−１,平均,１)

これは直接のP値です。

また、χ^２分布との適応度を見るためには、
ポアソン分布に基づく確率=POISSON(回数,平均,0)に総数を掛けると、期待度数が得られることから発生数までの回数をそれぞれポアソン分布に基づく確率を求め、χ^２値=Σ（（観測度数-期待度数）２／期待度数）で計算できるので、これよりＰ値を求め、有意差判定を行う。

健診データ分析ツールの中で、年齢調整を行った後、有所見率が１０％以下の場合χ^２検定ではなくこのポアソン検定を用いています。

以下の例題を通して、ノンパラメトリック検定（続き）のまとめをします。
実際に扱ったとても良い例題なので、参考になるかとます。

特殊検査項目で全社員平均６．５％の有所見率であるところ、Ａ部門が１０．７％と出ました。
Ａ部門に異常が発生しているのか判断しなさい

まず、Ａ部門の有所見率ですが、直接では10.7%ですが、年齢調整を施すと10.3%になります。
９５％信頼性区間は13.2%〜10.0%の範囲となります。

全社全体の６．５％からみると、やはり高い感じはします。

普通はこの10.3%にχ^２検定かけるのですが、この場合年齢調整を施したために分割表が使えず一般的な公式とは異なる方法で計算します。しかし、今回のように有所見率が６％とか１０％のように小さい場合χ^２分布しない可能性が大きいのです。
χ^２分布しないなら当然χ^２検定は使えません。

統計の習慣的には１５〜６％以上あるとχ^２検定を適応しています。１０％以下ならχ^２検定は先ずやりません。
１０〜１５％のグレーゾーンではポアソン検定との兼ね合いで判断します。

χ^２検定が使え無い場合なら、フィッシャーの直接確率はどうでしょうか。
フィッシャー検定は有所見者数を考えうる範囲で１つずつ変えてすべての状況における確率を計算していきます。
これができるのは（意味をなすのは）介入が行われた場合のみです。

A部署は以前から問題があって、指導を行った結果の有所見率である場合フィッシャー検定が使えます。
このときの判定は（保健指導などの）介入が効果があったかどうかを判定することになります。

しかしここでは、会社全部とA部署の検診結果だけの比較で、A部署に保健指導とかの介入を行ったことには触れていません。
つまり介入は行われていないと判断すると、フィッシャーの直接確率は使えません。

ポアソン検定ですが、健診値のパニックデータや特異値などはポアソン分布することが知られています。
例えば男性BMIで１８以下の有所見率は３％程度でこれはポアソン分布します。ただし、ポアソン分布は何百万何千万といった大規模データにおいてまれに発生する割合が示す分布です。
この男性BMIの３％というデータも厚生労働省の３千万人のデータから出てきたものです。

では、会社全体の６．２％がポアソン分布するのでしょうか？

ポアソン検定を行うに当たり、最初にやることはこの健診の検査項目がポアソン分布することを示すデータを提示し、それと会社全体の６．２％がポアソン分布していることを検定し確定させることが必要です。
（大規模データと会社全体の有所見率のポアソン検定）

そして、再度会社全体の６．２％とそれに対するA部署の１０．７％がポアソン検定により有意差があるのかを見ます。
（会社全体とＡ部署のポアソン検定）このような２段階の手続きが必要です。このとき年齢調整は必要ありません。

エクセルでポアソン検定を行うには、会社全体値がポアソン分布していると結果が出た場合

POISSON(6,56*0.062,0))＝0.075557114

これは直接のP値ですので、有意差はない　という結果になります。つまりA部署は異常でもないという意味です。

しかし、この検査項目がポアソン分布することを示すデータを提示することができるのでしょうか？
私の知る限り大規模データでの特殊健診の検査項目を示しているデータにお目にかかったことはありません。
ですから現実的にポアソン検定は出来ないと思っています。
ここは、単純に考えて、会社全体6.5％に対してA部署10.7％が異常かどうかを知りたい。と考えると二項検定が使えます。

検定計算機では、χ^２検定が使えない場合、対応のない場合はフィッシャー検定で、対応のある場合は二項検定と書いています。
一般的な参考書でもそうです。会社全体とA部署では対応のない関係ですから、これによると、二項検定はダメと言うことになりますが、しかし、二項検定の適応条件を見ると、互いに独立な関係であること。
これだけです。対応のあるなしには関係がありません。

ではなぜ検定計算機や教科書などではそのような表現をしているかというと、フィッシャー検定は別名正確検定とかイグザクト検定とか呼ばれるように正確なP値を返してきます。
χ^２検定やポアソン検定、二項検定などはそれぞれの分布に対する近似値のP値を返してきます。
近似値は所詮近似値です。フィッシャー検定の出す正確さには負けます。

本来二項検定は対応のあるなしに関係なく使えるのですが、条件が合う場合（対応がない場合）フィッシャー検定が適応できそして、正確な値を出してくれますので、それを採用しているに過ぎないのです。

二項検定を行 った結果は、P＝0.970となります。つまり有意差なしということです。

二項検定は会社全体の6.2％に対するA部署の10.7％だけを見ています。A部署が何らかの原因で高いのかどうか判断したいということは出来ます。
これと等価の検定でＦ検定があります。この場合特殊なＦ検定で、正体は次の章で述べる分散分析です。
これを統計ソフトやエクセルに装備されている普通のF検定の計算では間違った答えを出します。

この時見ているのは、会社や部署全体の合計の有所見率で見るよりも会社全体の有所見分布とA部署の有所見分布に差があるのかを見ていることになります。

元のデータを見る限り４０歳から５０歳の人たちの影響が大きいのが分かります。対策行動としてそのあたりの人をターゲットにするには、分布の片よりが示されることは都合の良い結果です。

つまり、会社や部署全体の合計の有所見率で見るよりも会社全体の有所見分布とA部署の有所見分布に差があるのかを見るとF検定を用いることは、結果的に４０歳から５０歳の人たちをターゲットにする意思を示すことになります。

このF検定のやりかたはややこしいのですが、検定計算機では二項検定と並行して動いています。これを手計算で求める手順は以下のようになります。

A部署の総数＝ｎとします。５６です
A部署の正常者数＝ｒとします。５０です。
この両者の比率をｐとします。（１−６／５０）＝0.892857143　です
会社全体の有所見率をπとします。0.88　です

ν1=2*(n-r+1)　　１４になります

ν2=2*r　　　　　１００になります

とすると、ｐ≧πの場合　F値は

F＝(ν2*(1-π))/(ν1*π）＝（100*（1-0.88））/（14*0.88）＝0.974025974

（ｐ＜πの場合は計算式が変わります。理由：Ｆ値は本来ｔ値の２乗と定義されており負の値になってはいけないためです）
このF値からP値を求めるのが関数のFDISTです。

FDIST(F値,ν1,ν2)*2＝FDIST(0.974025974,14,100）＝0.970174316

FDISTの値は片側検定の値ですので（エクセルはここでも間違った答えを出してきます）両側検定にするために２倍しています 。
Ｆ値は本来ｔ値の２乗と定義されていることからも分かるように負になりえませんので分布上片側検定が存在しないのです。

結果は0.970174316

つまり会社全体の有所見分布とA部署の有所見分布に差はないということです。ここで有意差があると、それは分布の偏りが原因であるとみなすことが出来、データの偏りを生じさせている部分（年代）に問題があるということが出来ます。今回有意差はないのですから、一見４０歳代４５歳代に異常が多く見られますが、自然に起こる範囲内として問題なしと言うことです。

このF検定は先の二項検定と数学的には同じことをやっており同じP値を出します。しかし、検定の考え方の出発点が異なりますので結果の解釈が異なることになります。

どのような検定方法を選ぶかは分析者が何をやろうとしているかあるいは何を言いたいのかの意思表示なのです。