★その他の検定

その他の検定の検定としてマンテル・ヘンツェル法、クラスカル・ウォリス（Kruskal Wallis）Ｈ検定、 スピアマン順位相関係数、
フリードマン（Friedman）検定を取り上げます。エクセルには専用の関数を持っていませんので、強引に手計算でおこないます。
手計算と言っても＋−÷×の四則演算だけですので、面倒ですが何とかやれるはずです。エクセルの練習にもなりますし。
現実的には、これらの検定の多くは分散分析の代用品みたいなもので、分散分析が出来れば使い機会も少ないかもしれません。
分散分析自体奥深いものですから、これらの検定方法を知っていると、別の側面から見ることに役立つことにもなります。

◎マンテル・ヘンツェル法

最初はマンテル・ヘンツェル法から。
マンテル・ヘンツェル法は、 χ^２検定の拡張として用いられます。
同じ２つの要因について、一定の条件の下で別々に集計された２×２分割表を合わせて検定する方法です。

ただし、この方法は、２×２分割表において交絡因子除去を目的に用いられることが多い。
つまり、単純にデータをまとめて χ^２検定するのではなく層別化した検定をしたい場合に用いる。意味のない層別を行うとかえって差が出にくくなります。
層別化はいろいろな因子で行うこともできるが、関係のない因子を層別すると逆に差が出にくくなることがある。

マンテル・ヘンツェル法における仮説は以下の通り。

仮説：２つの要因は独立である。
公式は

例題として、以下の３つの分割表を同時に検定します。

公式に代入すると、

χ^２＝ 0.855984964 　　　　　　P= 0.354864716 　　　　　性別による効果の差はない

となります。
また、χ^２は同じ条件下で作られた分割表なら ２×２ 表に合併できますので、

合併した分いろいろな情報が失われて、Ｐ値は甘く出ていますね。それだけ検出力が低いと言う事です。

◎χ^２検定における ２×２分割表から ｍ×ｎ分割表へ拡張
これは、分割表の構成によって検定方法が異なります。

１）行・列において順序関係が無い場合
直接χ^２検定を行います。

２）行・列のどちらかに順序関係がある場合
分類数が２つの場合→マンホットニーＵ検定を用いる
分類数が３つ以上の場合→クラスカル・ワーリス検定を用いる。

３）行・列のどちらにも順序関係がある場合
スピアマン順位相関係数を用いて検定します。

例１）行・列において順序関係が無い場合

Ａの指導法とＢの指導法を行ったところ体重の変化した人数が以下のようになった。ＡとＢに違いはあるのか。

ここから期待値表を作るのですが、楽な作り方を紹介します。
２つの指導方法が変化に影響しないなら、（つまり独立なら）例えば、以下の表に置いて、

a:b:c=d:e:f　の関係が成り立つ

このとき、表の周辺和（行小計，列小計）を元に考えると、a:d=100:200でa+d=26のように各々の値は、縦の計を右端の周辺和(行小計)の比率に配分したものとなるはずである。そして、それを期待値と言います。

a=26×100/300=8.7

b=120×100/300=40

他の値についても、期待度数を埋めることができますが自由度を使うと楽です。

また、m×n分割表の自由度は以下の式で求めることが出来ます。

自由度＝（m−１）×（n−１）

この例の場合（３−１）×（２−１）＝２

であるから２つ求めると後は引き算だけで求まります。期待値は、

これにより、
P値＝CHISQ.TEST(実測値範囲,期待値範囲) で求められ、0.030626516　になります。
これからχ^２値はCHISQ.INV(確率,自由度)で求められ、6.971778222になります。

一応有意差は出ましたが、χ^２検定は「分割表のパターンに有意性が有るのか」を算出するものですから、行か列が３つ以上になると、どの表の結果によって有意性が出たのか分からなくなるのです。

これについて、SPSSでは「調整済み残差」というのを簡単に算出し、それを見て判断しているので、同じようにエクセルでやってみましょう。

「調整済み残差」というのは、実測値−期待値で算出する「残差」を、それ以降の計算で調整して・・と訳の分からなくなるようなことを書く気になれないので、計算式だけを入れておきます。

「調整済み残差」＝（実測値−期待値）／√（期待値＊(１−縦計／総計)＊(１−横計／総計)
各枡における 調整済み残差を計算すると以下のようになります。

これの「1.96以上、または、−1.96以下」のところに着目します。
これは、期待よりも、数値が大きかった又は小さかったところです。
プラス値であれば「大きかった」、マイナス値であれば「小さかった」となります。調整残差の値が、1.96より大きい、又は−1.96より小さい場合は、有意差がない確率は5％となります。

赤で示したところが有意差が出ている部分です。
この例では、Ａ方式では３％以下、Ｂ方式ではすべてに置いて有意差が出ている事を示しています。また、また調整残差の値が±2.58以上では１％有意水準となります。

例２）行・列のどちらかに順序関係がある場合

分類数が２つの場合→マンホットニーＵ検定を用いる

以下のように集計されたデータがあります。

マンホットニーＵ検定を用いる場合はこのままでは出来ませんので、これを元データに戻し順序を割り振ります 。

検定の結果は以下のようになります。 ＡとＢでは、有意差があるという結果です。

例３）分類数が３つ以上の場合→クラスカル・ワーリスＨ検定を用いる

◎クラスカル・ワーリスＨ検定

クラスカル・ワーリスＨ検定は、対応のない3群以上のデータ間に有意性があるかどうか検定するものです。

不可→良→優と順序関係があるので、Ｕ検定と同じような事を行います。 先ずデータを縦に並べ各群の全個数Ｎと昇順でランク付けを行います。 全数とそれぞれの群の「順位の平均値」及び全順位の平均値を出します。

これを基に、クラスカル・ウォリスの統計量Ｔを計算します。

p値はエクセルのχ^２検定の関数CHISQ.DISTを使います。

この時の自由度は（群数−１）となります。

これからＰ値は　0.040866857　になります。

◎スピアマン順位相関係数

スピアマンの順位相関係数は単調増加曲線であれば直線関係でなくても適用可能です。
順位を取ることで直線関係に置き換えることができるので、そのために順位が明らかであればよい。

スピアマンの順位相関係数ｒ_sは左式より計算できる。これは、同一順位なしの場合で、
同一順序がある場合は、中央の式を用いる。
検定にはデータ数２０以上が望ましい。これはｔ検定となる。ｔ値は右式から計算でき、Ｐ値はT.DIST.2Tで求められる。

例題

左のデータのスピアマンの順位相関係数を求め、有意差判定をおこないます。

これより、
n= 40　　Tx＝ 5326 　　　Ty＝ 5328 　　　Σd2＝ 659.5

　スピアマンの順位相関係数rs= 0.938098383

　t値= 16.69557114
　p値= 0.003568355　　有意差あり

となります。