標本平均が正規分布を示すには標本数が非常に多いということが前提となりますが、標本数が少ない場合は、一般に正規分布を示さないのです。 それで、 正規分布に従った確率計算が出来ないのです。 それは、標本数が少ない場合の正規分布の分散値（平均値からの各それぞれの値を引いた差をつまり、標準偏差２乗したものが分散値）が分からないからです。

そこで代替案として、分散値を推定値で置き換えるという方法を考えます。（推定方法は数学的に決まっています）。
そして、この時出てきた値が正規分布に従えば問題ないのですが、「いい線いっているけれど、厳密には従わない」のです。別のもので置き換えているので、分布が変わってくるのは当たり前なのですが、「いい線」はいっているのです。つまり「推定精度が上りさえすれば、かなり正規分布に近くなる」のです。

では、推定精度を上げるにはどうしたらいいでしょうか？簡単ですね。データの数を増やせばいいのです。
「データの数が十分に大きければ（近似的に）正規分布に従っているとみなせるが、データがそれほど大きくないときには正規分布から外れてくる」ということになります。じゃあこのとき従う分布とはどういうものか・・・・・
そのようにして「発見」されたのが t 分布なのです。

まあ正規分布の数が少ないときの補正表というべきと考えても間違いないのですが、データの数が増えると正規分布に近づく、ということから明らかのように、t 分布の分布形は「データの数」に影響を受けます。
正規分布と t 分布の違いは、「分散値を真の値にするか推定値にするか」だけであり、データが増えることで分散値の推定精度がよくなるためです。その分散値推定精度を示す指標が「自由度」と言われるもので、１群の t 検定の場合は「(データ数) − 1」と一致します。つまり、自由度「データ数− 1」の t 分布に従う、ということになります。これについては、下段の自由度のイメージについての解説を参考にして下さい。

では、ｔ検定の演習問題を取り組む前に考え方を解説していきます。

評価したいと思うのは、「保健指導後の臨床検査値が指導前後における効果を判定したい」という場合が一番多いでしょう。
この場合２つの方法があります。

１つ目は、検査値自体を扱う場合です。
前後の差を比較するのですが、この時の仮説は、どうなるでしょうか。
指導前後の効果を直接表す分布というのは存在しませんでしたね。あるのは、「何もないときはこうなる」という分布だけです。
そうすると、指導前後の効果がない即ち、指導せずにただ集めただけの分布と同じことになります。

なんら介入も無しに集めたとき、その平均値の差は正規分布する。
と言うものがありましたね。
そうすると、直接の数値の差ではなく、互いの平均値の差を比較します。
この時、指導前後において、２つの平均値の差は「何もないとき」は互いに正規分布するのですから、同じ分布に従うことになり、その差は見いだせないことになります。（一致するはずです）。また、数が少ない場合、ｔ分布に従うことになります。
実際にその差が見出された場合一致しない即ち「何かある→効果がある」と言えそうです。
検定では、実際の不一致が５％以下の確率で起こる場合と決めています。
そうすると、この時の仮説は
「前後における平均値の差はない」となります。
この時、数が膨大なら正規分布ですから正規検定（Ｚ検定）、１００人以下ならｔ分布となり、ｔ検定が用いられます。

２つ目は、ある基準点を敷いてそれを境に合格、不合格の割合を扱う場合。

具体的には、血圧が指導後に１４０mmH以下に下がった人を合格とした場合や、アンケートなどで、「はい」「いいえ」と答えた割合などが当たります。
「合格・不合格」や「はい・いいえ」などの２者択一の場合、「何もないとき」即ち両者に偏りがない場合の分布はχ^２分布に従うので、χ^２検定を用います。

次に評価したいものとして、「指導前後において関連がみられる」を判定したい場合もあるでしょう。

この場合、分散値が等しいことを示せればよいので（相関性とはこのことです）
Ｆ分布を利用したＦ検定が用いられますが、この時の仮説の採用は要注意です。

仮説は「前後の分散は等しい」ですが、分散値が等しいことを示すので棄却されたら困ります。

χ^２検定はこの次にやりますので、最初はｔ検定から。またｔ検定はお互いの分散が等しい時と等しくない時、対応の有るなしで、計算式が違いますので、対応を見極め、分散が等しいか等しくないかを先に検定するＦ検定と併用して用いられます。

では次の演習問題に挑んでください。

【問１】
特定保健指導における積極的支援者の指導前後の体重が次のようになった。
指導効果があるのか判定しなさい。
（データはコピペしてエクセルに貼り付けることが出来ます。）

同じ体重の変化でも、今度は、事業所が異なるケースを考えてみましょう。

【問２】
Ｂ事業所で保健指導を行った結果体重は次のようになった
効果を見るために指導をしていないＡ事業所と比較した。指導効果があるのか検定しなさい。

データ分析におけるＦ検定はバグがあり、Ｆ検定のＰ値は半分された値が表示され片側検定と表示されます。
これは誤りで結果を２倍する必要があります。また、Ｆ検定には分布上片側検定は存在しません。

同じようにデータ分析におけるｔ検定でも自由度の計算が整数しか対応してないので、誤差が生じています。正しい自由度は、 25.41281712　です。正しいＰ値は回答の通りで直接関数で計算しています。
ちなみに、独学教育ツール付属の検定計算機の結果は以下のようになります。

Ｆ検定での分散が等しくないと言う結果はＡ事業所とＢ事業所における参加者は同質でないことを意味しています。
つまりＢ事業所で介入が行われたことを示しています。それにも関わらずＰ値で有意差がないということは、指導効果を出せなかったということです。

更なる追加演習が別ページに用意されています。チャレンジされたい方はどうぞ。
難易度も上がり、現実に起こりうる実践的な例も取り上げています。こちらから。

最後になりますが、ｔ検定を行うには以下の３つの条件を満たす必要があります。

１）ｔ検定を行うには正規性が保証されている事。
正規性とは、ここでは、平均値の差が正規分布していることを指しています。普通ある程度のサンプル数（対象者数）があると平均値等の代表値の正規性は確保されていますが、少ない場合にはこの正規性を検討してからｔ検定を行います。（レーベン又はルービン検定）
ある程度のサンプル数とは約５０人と考えると良いでしょう。理論的には中心極限定理から３０人前後となりますが、この人数だと個人差が影響してくる範囲でもあるので２５〜４５人あたりでは正規性の検討を行うことになります。これより少ない場合は例え正規分布していたとしてもそれを証明する手だてがありませんので、本当はｔ検定の条件を満たさない事になります。

と教科書には書かれていますが、実はｔ検定の制約のうち、正規性は大きな問題ではないのです。制約を満たしていなくても正しい答えを出すことを頑健性と言いますが、ｔ検定では（分散が等しくない検定を用いると）正規性が満たされていなくとも頑健性はとても高いのです。それゆえ２５人以下のサンプル数であるにもかかわらず、ｔ検定を用いている例は多くみられます。しかしそれでも１５人以下ではやはりボロが出てしまいます。検定計算機では、１５人以下の場合計算されず推奨される検定を表示します。

２）データが連続性であること。
計測の際数十�p単位で測定しているとか、テストの配点を１０点単位にしている、アンケート形式など、このような形で得られたデータは連続しているデータとは言えませんので、ｔ検定は使えません。

３）測定の前後の内容は同じものであること。
例えばテストや測定内容が最初と後では質問内容が異なっている場合には使えません。

◎自由度のイメージ

●自由度が「データ数− 1」になるイメージ

いま１００個のデータがあるとします。このデータの平均値は５０です。平均値の計算の仕方はお分かりですね。

この平均値５０を得るには、９９個の合計値がどの様な値であっても１００個目の値で調整して出すことが出来ます。
つまり、９９個の合計値が５００なら１００個目の値は＋４５００となり、９９個の合計値が１００００なら１００個目の値は
−５０００を当てはめれば平均値５０が出てきます。

すなわち、１００個のデータのうち平均値は９９個のデータが自由自在の値を取っても残りの１個で戻すことが出来る・・・つまり９９個は自由に動けるが１個は自由に動けない・・

◎【エクセルでｔ検定を行うときの注意】

エクセルでｔ検定を行うには、ttestと言う関数を使う方法と、分析ツールを使う方法があります。
関数の場合この中の引数として、typeに１を割り当てると、対応のある場合の平均値の差の検定を、２を割り当てると等分散を仮定した（通常の）2 群の平均値の差の検定を、３を割り当てると等分散ではないときの（welch の方法による）2 群の平均値の差の検定を行います。
この時出てくる値はｔ値ではなく、Ｐ値です。報告書等での記載の様式に従ってｔ値が欲しい場合はTDIST関数で計算するか、データ分析を用います。しかし、データ分析にも注意が必要です。

関数とデータ分析では、計算方法が異なるようで、そこでの自由度が関数では小数点以下対応、データ分析では、整数対応となっています。そのためデータ分析の結果は、有効数字４桁くらいの信用度しかありません。得に分散の異なるｔ検定では顕著に表れます。これは有意水準１％になると効いてくる範囲です。（データ分析のｔ検定は精度が悪いと言うことです）
統計の専門家には互いに分散が等しいのは理想過ぎる。現実は違って当たり前だから全てのｔ検定はWelchのｔ検定（分散の異なるｔ検定）で行うべきだと主張する方も多くいます。そうなって来るとデータ分析は苦しくなりますね。