★χ^２検定　　相関検定

◎χ^２検定
χ^２検定は保健事業を評価するのに非常に役立ちます。ｔ検定よりもハッキリとした効果判定が行える検定方式です。
例えば、血圧の下降を評価する場面で、人数が多ければ、145→142でも有意差が出る事があります。が、保健指導的には自慢できるような効果とはいえませんね。（せめて140は切って欲しい）
極端な例では、報告書に全てχ^２検定だけで作り上げることもできます。保健医療従事者にとってハッキリとした効果判定が行える便利な検定なので、ぜひ使いこなせるようになって下さい。

そもそもχ^２（カイ２乗と呼びます）とは何でしょうか？
さいころを振ることでもよいし、お酒とビールを選ぶことでも良いのですが１回１回が独立して行われている事が前提となります。

さいころの場合はどの目も同じ確率で出ることは分かりますね。お酒とビールを選ぶ場合、好みに差がない場合どちらかが選ばれるのは半々です。
実際に行うと、確率とは違う結果が出てきますね。何回もやれば確率通りになることは言われていても現実には食い違いが起こるわけです。
この食い違いがどれくらい起こるのかその程度を考えると、確率通りに出る事を期待値として、実際に出たものを現実値とするとその差を取ったものすなわち、（期待値−現実値）を行った回数分加えると食い違いの程度を表す指標になりそうです。しかし、平均値のから差を取った偏差と同じように実際には＋と−が常にうち消しあって０になります。

そのため＋と−の符合を消す手段として２乗することを行います。これで０にはならずに済みますが、食い違いの程度を表すためには回数によらず一般化するために差の２乗したものと期待値の比をとり、合計すると回数に関係なく表せます。
一般式で書くと

食い違いの程度＝｛(期待値−現実値) ^２ / 期待値｝の総和

となります。期待値で割っていることもありますが、この２乗和の総和がχ^２分布に従うのです。即ち、食い違いの程度はχ^２分布に従うと言うことになります。この式は現実に起こることが期待値通りなら０となり、食い違いは出ませんが、ズレが大きいほど大きくなりますし、ズレの大きさがどれくらい確率からずれているかを計算することができます。
要は２乗和はχ^２分布と呼ばれる分布をすると言うことです。ｎが大きくなるとχ^２分布は正規分布に近づいていきます。
このことから現実に起こっている事を期待値から導き出せるχ^２分布と比較して、どれくらいずれているのかを計算する事で統計的な判断を下すことが出来るようになります。

ここで大切なことは比率の総和がχ^２分布に従うと言うことです。食い違いの程度を求める考え方は、分散を求めるときの考え方と同じですが、分散の場合は偏差の総和を最後に総数で割るのに対し、χ^２では、１つ１つの比率の加えた総和で表されている事です。これがχ^２検定が比率の検定と言われる由縁です。

では、話の場面を現実の世界に移します。実際に実験を行った時、結果がχ^２分布から大きくずれていたとします。そのようなときは何か作為的なことがあったのか、あるいは偶然に起きたのかを判断することになるのですが、しかし普通は何か作為的なことがあったのかと疑うことでしょう。作為的というと悪気があるような感じですが、χ^２の前提条件を満たしていないと好意的に見ると正規分布に従っていないか、独立が守られていないかでしょう。そう考えるとχ^２を用いた判断は（検定）「正規性の検定」又は「独立性の検定」を行っていることになります。

教科書によっては「正規性の検定」と「独立性の検定」の2 種類のχ^２検定が示されている事がよくあります。これがχ^２検定を混乱させる１つの要因です。

「いくつかの群で，ある変数の分布に差があるかどうかの検定」と，「2 変数が独立であるかどうかの検定」です。この２つは計算式も全く同じであるので、何が違うのか迷うことになりますが、なぜそうなのかは上記のχ^２の前提条件を考えればわかりやすいでしょう。

ただし、これらの違いはデータの集め方が違うのです。例えば先のお酒とビールを選ぶ事を考えます。これを男女の２群で嗜好の回答の分布が異なるかを知りたい時、前もって男子何人、女子何人と決めてからデータを集めた場合には「男女で分布が異なるかどうか」の検定になります。つまり、２群の分布の差の検定です。

これに対して、何人かの対象者について調査し得られたデータを性別と回答別に集計した場合には、「性別と嗜好が独立であるかどうか」の検定になります。これは独立性の検定と呼ばれます。
また、計算式も全く同じであると言うことは、「二群の分布の差の検定（正規分布によるＺ検定）」は、独立性の検定（χ^２検定）と等価な検定であることも言えますが、データ収集の方法（計画性）や求めている結果は違うことを理解して下さい。

そしてもう一つχ^２を難しくさせる要因として、分割表の意味が分かっていないことが上げられます。これは実際χ^２検定を行うときに集計表の扱いに悩む事柄も多いようで、これがまたχ^２検定を使いにくくしている要因でもあります。

これまでの経験からχ^２検定が間違っている、使えない等の原因はこの分割表の作成にあることが多く、分割表の間違いを指摘すると面食らう方も多いのです。しかし、それは皆さんの責任ではなくχ^２検定を解説している教科書や参考書でこの分割表に関する解説を割いているものは少ないです。そのために分割表の作成に原因があるとは思ってもいない方が多いのではないでしょうか。

χ^２検定を用いた独立性の検定は分割表を用いてしか行われないのですが、ｎ×ｍ表を作ったとしてもそれが分割表になっていない場合にはχ^２検定は行えません。（その理由は、独立性の検定における帰無仮説：「（母集団における）２つの比率は等しい」に対する期待値は分割表に限ってしか計算することが出来ないためです。そのため、統計ソフトの多くは、χ^２検定という表現をせずに、分割表（クロス表と表現しているのもありますが本来は間違い）の検定とか、２×２表（ｍ×ｎ表）の検定という表現をしています。

分割表の定義は、
�@列は互いに排他的でなければならない。排他的とは、男性に対して女性、開始に対して終了、効果ありに対して効果なしと言った具合に相反するものを指します。

�A行も互いに排他的でなければならない。

�B行も列も排他的であれば順序尺度を用いてもよい。順序尺度とは、１）効果あり　２）やや効果あり　３）どちらとも言えない　４）全く効果無し・・のように順位や大きさの方向が見られるものを指します。（各大きさの程度は問わない）

�C表のデータは観察された対象者の数であり、比率や小数ではない。

�D各桝目をa,b,c,d と表すと、

各合計は上記を満たす事が必要です。
行と列をお互いに排他的な関係に分割する。これが分割表です。
なぜこのような定義になるのかと言うと、この定義が期待値を計算するための条件だからです。
分割表もクロス表の一部ですが、上記定義により明確に区別されています。

この排他的という言葉は数学用語です。普段日常用いる意味合いとは異なりますので、これも誤解を招く原因の１つです。
このことから分割表は、行、列がそれぞれ排他的であるために、最低でも２×２表（４つの桝の表）であることが必要です。
また、各桝目に入る値は対象者の数であるため整数です。（比率を扱うのですが、実際には観測された人数（即ち度数）を扱っていることに注意して下さい）また、行には因果関係を見たい対象を表し、（男性、女性とか）列にはそれぞれの結果（効果あり、効果なし）を表しているのが通例です。

では、実際にχ^２を用いた独立性の検定を行ってみましょう。

例題として、 「楽しくやせる教室」で説明します。以下の内容です。
昨年度の健診結果から２００人を無作為に抽出して、体重の減少した人の「楽しくやせる教室」への参加の有無を調べると次のようになりました。（体重が前年比５％以上下がっていたら変化有りとしています。）

２００人中体重の減少が変化していない人は８０人で、その内「楽しくやせる教室」を受講していた人は４０人で、未受講者も４０人であった。受講・未受講者が同数である事からこの「楽しくやせる教室」事業は体重の減少に取って意味のないものと考えてもよいでしょうか？
分割表を作ると以下のようになります。

この集計結果からだけでは「事業は意味のあるものとも無いものとも言えない」が正しい答えです。極端な例ですが、もしこの会社では大部分の人が「楽しくやせる教室」を受講していて、受けなかった人が４０人とするとその４０人全員が痩せなかった疑いが残ります。そこで、体重の減少している人の内容も調べなければ結論は下せないことになります。変化した人、しないかった人と互いに排他的な状況を調べなければいけないと言うことです。それが分割表を作るという意味になります。

この表から事業の体重変化の効果の有無を見ていく事をしましょう。
「楽しくやせる教室」を行う意味があると言うことは、受講の有無と体重変化に関係があると言うことですから、仮説としては「受講と体重変化は独立ではない」という言い方をします。
逆に「楽しくやせる教室」の効果がないと言うことは、受講と体重変化は関係が無いと言うことで受講と体重変化は独立であると言います。
従って「楽しくやせる教室」の意味を確かめる事は、受講と体重変化が独立かどうかを確かめることであり、「受講と体重変化は独立である」という帰無仮説を立ててそれが棄却されるかどうかを検定すればよいことになります。
棄却されれば事業の意義を認めることになります。これが独立性の検定と呼ばれる理由です。

では、この分割表をもとにして期待値の表を作ります。

期待値＝（行合計＊列合計）／総合計　

で求めることが出来ます。それで計算したのが下記の表です。

ここで得られたχ^２の値は、仮説が正しいときにはχ^２分布をします。そして仮説が正しくないときほどその値が大きくなる性質を持っている事になるので、χ^２分布での５％又は１％における確率密度の値より大きければ仮説が棄却される事になります。確率密度の値は統計表のχ^２分布表を用いて検討されます。

ところで、χ^２分布は自由度によってその形が変わるので、自由度を求めなければいけません。
自由度は、分割表の行と列のカテゴリー数で決まります。

自由度＝（行のカテゴリー数−１）×（列のカテゴリー数−１）

ここでは１になります。χ^２の値が分かったので、次はＰ値を求めます。
Ｐ値は エクセルの関数 CHIDIST関数で求められます。Ｐ値＝4.66685E-07　と１％（0.01)以下になります。

２×２表の場合自由度が１というのは、期待値表を作成するとき、表の各合計値との兼ね合いで、１つの期待値が決まると、後は合計値からの引き算で求められます。つまり自由に動けるのは１つしかないのです。１つ決定すると残りはそれに従わなければならないのです。

エクセルには直接χ^２値を計算する関数は用意されていませんが、期待値表が作成済みならCHITEST関数が利用できます 。
CHITEST(実測値範囲,期待値範囲)この時範囲指定にはラベルは含まれません。この時出てくるのはＰ値です。χ^２の値が欲しい場合は公式から出します。

χ^２の分布は連続関数なのですが、分割表は各升の値が整数と言う制限のために分割表を用いたχ^２値は連続にはなりません。
ただし対象者数が多くなれば連続なχ^２分布に近づいていくのですが、対象者数が少ないと正確ではありません。
このためχ^２の計算は近似値を計算している事になりますのでそれを補正してやることが必要になってきます。
この補正をイエーツの連続補正と言い、食い違いの程度＝｛(期待値−現実値) ^２ / 期待値｝の総和において、分子の期待値−現実値)から０．５（1／2)を引き算することで補正できます。

このイエーツの連続補正はCHITEST関数では行えないので、人数が少ない場合は直接計算式に代入して求める事になります。

分割表を用いたχ^２検定は、近似値を計算しているため、升の値が小さいといくら補正を行っても効きません。
小さいとはどの程度かは、
（２×２表の場合＝自由度１の場合）
�@対象者総数が２０人以下である。
�A期待値の中に５未満の数値が含まれる場合
です。この中の１つでも該当すればχ^２検定は行えません。つまり人数が２０人以上でも期待値の升の中に５未満の数が１つでもあるとχ^２検定は適応できません。そして、対象者総数が２０人以上４０人未満の場合はイエーツの連続補正を適応するのが普通です。（�Aの期待値の中に５未満の数値が含まれる場合に該当するとイエーツの連続補正も出来ません。）

イエーツの連続補正を行ったχ^２検定は行わなかった場合に比べて統計量は小さくなるので、３大統計ソフトのSPSSのように常にイエーツの連続補正を行った方がよいかもしれません。ちなみにSPSSのアルゴリズムを見ると、この制限の扱いは、
｜ad-bc｜≦0.5(a+b+c+d)となるとχ^２＝０（Ｐ値＝１）が算出されます。
同じく３大統計ソフトの STATISTICAでは値は計算されず後に述べるフィッシャーの直接確率が計算されます。
フィッシャーの直接確率計算法では、χ^２におけるような制限はありませんし、近似値ではない正確なＰ値を出すので本来はこちらを用いるべきでしょうが、いかんせん計算が複雑であるため普通は補正付きχ^２検定が用いられ、制限にかかった場合に使用されます。

論文等を見ると、この独立性の検定にｚ検定を用いている例があります。（ｚ検定は通常正規性の検定と呼ばれますが、別名独立性の検定という名も持っています。）このｚ検定とχ^２検定は全く異なるように思えますが、この２つの方法は数学的に同一で同じＰ値を計算します。（つまり制限も同じで、χ^２検定と同様ｚ検定にもイエーツの連続補正が同じ式で適応されます。）このことが十分理解されておらずχ^２検定の制限を逃れるかのようにｚ検定で済ませている例もありますのでこれは真似しないでください。

●オッズ比
χ^２検定では、オッズ比の計算も出来ます。「対応のない」では、このときのオッズ比は危険率とか暴露率とか呼ばれる比になります。わかりやすく言えば受講すると受講しないとでは何倍肥満のリスクが高まるという事を表しています。
「対応のある」場合は寄与率とか効果率と呼ばれ効果の度合いを表します。

実はこのオッズ比、計算はものすごく簡単です。・・ですが・・論文ではあまり目に触れないですね。
これを表示するときはこのオッズ比の検定も行ってくださいよとの暗黙の条件があります。そしてこのオッズ比の検定・・これが難しいのでそれ故査読とかで指摘されないようにオッズ比を伏せてしまう例が多いのです。

確かにオッズ比の検定は高度ですが、信頼性区間を示し区間内に０を含まない（オッズ比の場合対数変換しますので、１を含まない）事を示せばＰ値が有意差があると同等ですし、信頼性区間の計算はそう難しくないのでこのことを示せば無理に検定する必要はありません。実際公衆衛生学会でも認めています。

独学ツールの検定計算機ではこの信頼性区間を求める事が出来るようになっています。
検定を行っても真の値は分からないのですから本来は信頼性区間のほうが正確さを反映させているという専門家も多いのです。

次に対応の有る場合を考えて見ます。
χ^２検定の対応のある場合は別名マクネマー検定とかマクノーマン検定（McNemar）と呼ばれます。

これらの式を見て分かると思いますが、実は、bとcしか利用していません。
初回時変化なしかつ終了時変化有りと初回時変化有りかつ終了時変化なしの２組で、これらを一致しないペアと呼びます。
（aは変化なし→変化なし、ｄは変化有り→変化有りと変化していませんね。）
これら以外のペア（aとd）は変化の情報をもたらさないので利用しないのがマクネマー検定の大きな特徴です。

マクネマー検定では、b+c　が１０以下の場合では用いることは出来ません。

健診データを利用した保健指導の効果を見る場合、指導の結果をどのような形で評価するかを当てはめてみると、
指導対象者に対して、指導結果の有無を見るのですが、
事業自体が効果的であるのか（事業を実施する意義があるのか）⇒独立性の検定
事業内容が効果的であるのか（実施プログラム内容は効果的であるのか）⇒対応のある比率の検定
となります。

事業自体の意義を見る場合、指導対象者と参加者はそれぞれ独立の立場であることが前提です。
このため事業が終わった時点で、対象者の結果を求められる事になりますが、（参加者の結果は分かる）これは次年度の健診の結果を待つことになりますので、事業終了時には判断することは出来ません。
しかし、２〜３年の総計を出して評価することは出来ますし、将来求められているものでもあります。

ただ、ここで、安易に指導対象者の結果を１年前にずらして見ることも出来ないことは無いですが、例えばメタボ健診における初期においては、前年と当年ではメタボに対する意識の違いが大きくその意識の差が大きく影響しますので、その差を見ることが出来ませんのであまりお勧め出来る方法ではありません。このような保健指導の受容性に大きな違いがある場合はその点も考慮して判断します。

● エクセルにおいて、CHITEST または、CHIDISTを用いて計算するときの注意

エクセルにおいて、CHITEST または、CHIDISTを用いて計算するとき、CHIDISTの解説には、χ^２分布の片側確率を返すと記述されていますが、これは誤りです。

文字通り受け取ると、χ^２検定では両側検定になるので、出てきたＰ値を２倍しなければいけませんが、その必要はありません。実際には、χ^２検定では、片側・両側検定の区別をしないのですからこの表現はおかしい事になります。

統計に関するエクセルにおける解説やヘルプには表現のおかしいもの、間違ったもの、意味不明なもの等数多くあります。これらを参考にすることだけは避けてください。きちんと教科書や参考書等で確認することが必要です。